Sia il segnale che il rumore nella comunicazione possono essere considerati processi casuali che cambiano nel tempo.
Il processo casuale ha le caratteristiche della variabile casuale e della funzione temporale, che possono essere descritte da due prospettive diverse ma strettamente correlate: (1) Il processo casuale è l'insieme di infinite funzioni campionarie; (2) Un processo casuale è un insieme di variabili casuali.
Le proprietà statistiche dei processi casuali sono descritte dalla loro funzione di distribuzione o funzione di densità di probabilità. Se le proprietà statistiche di un processo casuale sono indipendenti dal punto di inizio temporale, si dice che il processo sia strettamente stazionario.
Le caratteristiche numeriche sono un altro modo accurato di descrivere i processi casuali. Se la media del processo è costante e la funzione di autocorrelazione R(t1,t1+τ)=R(T), il processo si dice stazionario generalizzato.
Se un processo è strettamente stazionario, allora deve essere ampiamente stazionario, e viceversa non è necessariamente vero.
Un processo è ergodico se la sua media temporale è uguale alla corrispondente media statistica.
Se un processo è ergodico, allora è anche stazionario, e viceversa non è necessariamente vero.
La funzione di autocorrelazione R(T) di un processo stazionario generalizzato è una funzione pari della differenza temporale r, e R(0) è uguale alla potenza media totale ed è il valore massimo di R(τ). La densità spettrale di potenza Pξ(f) è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione R(ξ) (teorema di Wiener - Sinchin). Questa coppia di trasformazioni determina la relazione di conversione tra il dominio del tempo e il dominio della frequenza. La distribuzione di probabilità di un processo gaussiano obbedisce a una distribuzione normale e la sua descrizione statistica completa richiede solo le sue caratteristiche numeriche. La distribuzione di probabilità unidimensionale dipende solo dalla media e dalla varianza, mentre la distribuzione di probabilità bidimensionale dipende principalmente dalla funzione di correlazione. Un processo gaussiano è ancora un processo gaussiano dopo la trasformazione lineare. La relazione tra la funzione di distribuzione normale e la funzione Q(x) o erf(x) è molto utile per analizzare le prestazioni antirumore dei sistemi di comunicazione digitale. Dopo che un processo casuale stazionario ξi(t) passa attraverso un sistema lineare, anche il suo processo di output ξ0(t) è stabile.
Le caratteristiche statistiche del processo casuale a banda stretta e dell'onda sinusoidale più rumore gaussiano a banda stretta sono più adatte per l'analisi di canali multipercorso in dissolvenza nel sistema di modulazione/sistema passa-banda/comunicazione wireless. La distribuzione di Rayleigh, la distribuzione di Rice e la distribuzione normale sono tre distribuzioni comuni nella comunicazione: l'inviluppo del segnale portante sinusoidale più il rumore gaussiano a banda stretta è generalmente la distribuzione di Rice. Quando l'ampiezza del segnale è elevata, tende ad avere una distribuzione normale. Quando l'ampiezza è piccola, si tratta approssimativamente della distribuzione di Rayleigh.
Il rumore bianco gaussiano è un modello ideale per analizzare il rumore additivo del canale e la principale fonte di rumore nella comunicazione, il rumore termico, appartiene a questo tipo di rumore. I suoi valori in due momenti diversi non sono correlati e statisticamente indipendenti. Dopo che il rumore bianco passa attraverso un sistema a banda limitata, il risultato è un rumore a banda limitata. Il rumore bianco passa-basso e il rumore bianco passa-banda sono comuni nell'analisi teorica.
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